無限とは 限りないこと。 無限はいろいろな単語を修飾して使われる。 数学でよく使われるのは、 大きさが限りないこと、「無限に大きい」（無限大） 限りなく小さきこと、「無限に小さい」（無限小） 限りなく近いこと、「無限に近 […]
ℵ（アレフ）は無限大なのか
集合の濃度を表す記号ℵ（アレフ） 集合（の要素）の個数は自然数で表すことができますが、その概念を発展させ無限集合に対して濃度でその大きさを表します。この濃度を表す時に使われる記号がℵです。 小さい順に、ℵ0、ℵ1、ℵ2、 […]
無限に数え切れない物どうしを比較するには
数えるとは 数えるとは、自然数と対応つけることです。 ５匹のチンパンジーにそれぞれバナナを配るには、それぞれのチンパンジーに対しバナナを直接手渡しすれば配り終えます。チンバンジーとバナナが直接結びついていることで１匹に１ […]
「無限大」と「最大の数」は違う
最大数（最大の数） ここで言う最大数とは、数の中で最大に大きい数の事です。 自然数の中に最大数はありません。どんな自然数Mをもってきても、それより大きい自然数例えばM+1が存在しているからです。 実数の中にも最大数はあり […]
有理数の部分集合でデデキントカット
いろいろな集合のデデキントカット デデキントカットが一番使われるのは、有理数をデデキントカットして実数を作る時です。 整数をデデキントカットしても、整数しか生み出せませんでした。 整数は、稠密でないため（離散的なため）特 […]
0.999…の地点はデデキントカットでどう表されるのか
デデキントカットで１の地点を切断してみます。 実数は有理数のデデキントカットで定義できる。 有理数をデデキントカットすると実数が作れる。 これは予備知識で持っているとして話を進めます。 有理数は実数に含まれると考えること […]
デデキント切断で考察すべき所
実数の定義は意外に難しいものですが、デデキント切断という考えで定義できます。 具体的には、有理数のデデキント切断から、実数を構成することができます。 デデキント切断(デデキントカット(dedekind cut))とは 定 […]
整数をデデキント切断するとどうなるか
有理数をデデキント切断して実数を定義するのは有名ですが、同じように全順序集合である整数をデデキント切断するとどういった数ができるのでしょうか。 デデキント切断の練習として、整数を切断します。 整数をAとBにデデキント切断 […]
稠密な有理数を完備化した実数をさらに完備化したらどうなるか
簡単にいうと 稠密（ちゅうみつ）とは、たくさん集まっているということで、一番わかりやすい例が「有理数(全体の集合)です。連続は稠密よりもさらにたくさん集まっているというこおとで、一番わかりやすい例が実数(全体の集合)です […]
正数と整数がややこしい、無限小と負の無限大がややこしい
正の数、負の数 使い慣れてしまってるので特に気にしていませんが、時々「正数」と「整数」の誤変換をしてしまうときに、なぜ、プラスを正の数、マイナスをが負の数と呼ぶのだろうと疑問い思います。 語源はよくわかりませんが、正負の […]
