代数 根と解を統一扱いせず使い分ける方法
解と根言葉の使い分けの話です。自分でもどっちを使おうか、統一しようか悩む事もありますが、自分の中の結論としては、使いやすい方を使うことにしています。つまり、混在して使っています。世の中、根と解を区別して使ってる方も多数おられて、それはそれで...
代数
代数 代数 関数記号「f(x)」について
関数記号としてよく使われるのはf次はg関数（一般的には写像）を表す記号、例えばf(x)はものすごく便利な記号です。便利すぎて、数学では使いまくられています。関数を表す文字としてf,g,h,あとは、ギリシャ文字などもよく使われます。他の文字は...
代数 収束する数列で数を作る
数列で新しい実数を作るで数列に四則演算を定義しましたが、ゼロ因子があって邪魔でした。そこで、数列群のなかでこのようなゼロ因子を省くことを考えます。収束する数列で体を作る数列は、収束する、発散または振動に分けられます。数列群の要素で収束するも...
代数 数列の四則演算を活用して数を作る
それでは、新しい実数を作っていきます。既存の実数を使い、それを拡張する方法で作ります。数列を母体にする数列から新しい実数を作ります。ある数列の一つを{an}のように中括弧でくくって表現します。{an}:=a1,a2,a3,…です。aはこの数...
実数の作り方 0.999…≠1の証明に挑戦！新実数の構築
0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。＝１と≠１の両者の式の意味がわかってこそ、＝１の...
代数 有理数の部分集合でデデキントカット
いろいろな集合のデデキントカットデデキントカットが一番使われるのは、有理数をデデキントカットして実数を作る時です。整数をデデキントカットしても、整数しか生み出せませんでした。整数は、稠密でないため（離散的なため）特殊すぎました。ここで、有理...
数論 0.999…の地点はデデキントカットでどう表されるのか
デデキントカットで１の地点を切断してみます。実数は有理数のデデキントカットで定義できる。有理数をデデキントカットすると実数が作れる。これは予備知識で持っているとして話を進めます。有理数は実数に含まれると考えることができますから、有理数もデデ...
数論 デデキント切断で考察すべき所
実数の定義は意外に難しいものですが、デデキント切断という考えで定義できます。具体的には、有理数のデデキント切断から、実数を構成することができます。デデキント切断(デデキントカット(dedekind cut))とは定義全順序集合 S を二つの...
数論 整数をデデキント切断するとどうなるか
有理数をデデキント切断して実数を定義するのは有名ですが、同じように全順序集合である整数をデデキント切断するとどういった数ができるのでしょうか。デデキント切断の練習として、整数を切断します。整数をAとBにデデキント切断すると、 Aに最大値があ...
数論 稠密な有理数を完備化した実数をさらに完備化したらどうなるか
簡単にいうと稠密（ちゅうみつ）とは、たくさん集まっているということで、一番わかりやすい例が「有理数(全体の集合)です。連続は稠密よりもさらにたくさん集まっているというこおとで、一番わかりやすい例が実数(全体の集合)です。実数も稠密ですが、有...