実数の作り方 0.999…≠1の証明に挑戦！新実数の構築
0.999…=1の証明はゴマンとあるのに、0.999…≠1の証明は全然見当たらない。たまに、超実数だと云々と書かれているだけで、その超実数がなんなのか明確にして説明しているのをみたことがない。＝１と≠１の両者の式の意味がわかってこそ、＝１の...
解析
実数の作り方 無限 数列の極限と関数の極限の違い
極限の記号limは２段階の意味がある注意深く観察すればわかることですが、極限には数列の極限と、関数の極限があります。特に区別しなくてもまず混乱はないのですが、なにげに区別されているのですよ。（実数でできている）数列は、見方をかえると、自然数...
無限 公理的集合論から順序数(注意！本当に駄文でゴメン)
無限大が絡んだ数で演算を調べようとしても、なんとなくの説明でいまひとつ釈然としないか、踏み込もうとしると伏魔殿に足を踏み入れたような感じになります。公理的集合論真面目に無限大に取り組んでいる学問は、公理的集合論の世界でしょう。やはり、無限を...
無限大の比較 無限大÷無限大が不定とは限らない
極限は数列の行き先であるから、発散する数列を無限大として扱う考え方は、自然である。数列の演算では、割り算がうまく定義できなかった。したがって無限大の比の計算に難があった。これを回避するために、0を含まない数列だとか、項がすべて正だとか条件を...
無限大の比較 無限大を数列で表すとどうなるか
極限で無限大を比較するとは、発散する数列の比較である無限大の定義無限大を、単に大きな数とだけ定義したのでは、大きさについて漠然と定義されただけの存在にすぎない。そもそもそれは数にならない。そこで、無限大とは、正の無限大に発散する数列(実数列...
無限大の比較 無限大×無限大は無限大より大きいか
実数直線を開区間(-1,1)に埋め込むことによって、無限大に発散する数列を有限の線分の範囲で考えることができた。そして、有限の線分で無限大への近づき方が観察することができるようになり、無限大に発散する数列がある無限大という数のようなモノに収...
無限大の比較 無限大の比較は可能か？
次の二つの数列を考えます。\\どちらの数列も無限大に発散する数列です。さて、同じ無限大に発散する数列ですが、どちらの無限大が大きいでしょうか？発散する数列の比較上記の二つの数列{an}と{bn}の差や比を取ってみます。{an-bn}は無限大...
無限大の比較 数直線全体を開区間(-1,1)に埋め込む方法
数直線全体をぎゅ～っと縮めて開区間(-1,1)に対応させる下記に実数直線を開区間(-1,1)に埋め込んだ状況を図で示します。いろんな関数を使う方法が考えられますが、できるだけ単純な関数を選んで埋め込みました。実数直線を二つの関数\\によって...
無限大の比較 「無限」に絡む用語「無限大」「永遠」「極限」「無限の彼方」
無限とは限りないこと。無限はいろいろな単語を修飾して使われる。数学でよく使われるのは、 大きさが限りないこと、「無限に大きい」（無限大） 限りなく小さきこと、「無限に小さい」（無限小） 限りなく近いこと、「無限に近い」 多すぎて数えられない...
無限大の比較 ℵ（アレフ）は無限大なのか
集合の濃度を表す記号ℵ（アレフ）集合（の要素）の個数は自然数で表すことができますが、その概念を発展させ無限集合に対して濃度でその大きさを表します。この濃度を表す時に使われる記号がℵです。小さい順に、ℵ0、ℵ1、ℵ2、…と続いています。ℵ0と...