無限大の比較 無限に数え切れない物どうしを比較するには
数えるとは数えるとは、自然数と対応つけることです。５匹のチンパンジーにそれぞれバナナを配るには、それぞれのチンパンジーに対しバナナを直接手渡しすれば配り終えます。チンバンジーとバナナが直接結びついていることで１匹に１本とわかりますが、チンパ...
解析
無限大の比較 無限大の比較 「無限大」と「最大の数」は違う
最大数（最大の数）ここで言う最大数とは、数の中で最大に大きい数の事です。自然数の中に最大数はありません。どんな自然数Mをもってきても、それより大きい自然数例えばM+1が存在しているからです。実数の中にも最大数はありません。理由は自然数と同じ...
数論 正数と整数がややこしい、無限小と負の無限大がややこしい
正の数、負の数使い慣れてしまってるので特に気にしていませんが、時々「正数」と「整数」の誤変換をしてしまうときに、なぜ、プラスを正の数、マイナスをが負の数と呼ぶのだろうと疑問い思います。語源はよくわかりませんが、正負の使い分けは、中国での発想...
無限 無限に広がる大宇宙
宇宙ほど無限を象徴してい象徴しているものはありません。宇宙３大人気疑問「宇宙」には、山のように謎や疑問があるところが「無限」と似ています。そのなかでも、人気というかだれでも一度は不思議に思ったはずの宇宙の疑問。ある調査によると、 宇宙の果て...
数論 本当に素数の出現率はベンフォードの法則に従うのか？
こんな論文「素数の分布はベンフォードの法則に従っている」がありました。これがどんな意味を持っているのか？その意味がどうにも腑におちなくて、自分でも検証してみました。素数はいろんな意味でランダムに出現していると言われていますが、先頭の数がどの...
無限 カントールの対角線論法が卑怯だと言われるわけ
カントールの対角線論法同じ無限でも、「実数が自然数よりも多く存在する」ことを実にわかりやすく説明する対角線論法ですが、その論法に疑問を持つ人もたくさんいます。そのことを数当てゲームにたとえて説明していきます。ある数を当てたら勝ち、当てられな...
代数 可算濃度よりも小さい濃度に挑戦
可算濃度と連続濃度Sを可算濃度ℵ0の無限集合とし、その冪集合を2Sとすると、2Sは連続の濃度ℵ1の無限集合である。これについては、調べれば豊富な説明があり、説明しだすとくどくなるのでここでは詳しく述べない。ここで確認しておきたい要点は、「可...
無限 どこまでも続く対角線論法を見直す
実数の濃度が可算でないことを示す対角線論法の流れ実数を無限小数表示で表すこととし、その無限小数を縦に無限い並べます。並べたそれぞれの無限小数を対角線上になぞり、対角線上の桁の数をしらべ、その桁の数と違った数を持つ無限小数を作ります。カントー...
無限 対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない
0に収束する数列に対角線論法を使うわかりやすく２進数で書いた下記の数列{an}を考えます。111...の部分は、1が永遠に続くことを意味した記号です。a1=0.111...a2=0.0111...a3=0.00111...a4=0.0001...
無限 実無限の説明で無限小数の0.999…は不適当
0.999…よく、無限小数の例として0.999…が使われます。これは、0.999…＝１となる等式の説明ででてくる実数の例なわけです。0.999…＝１の式の意味を考えるときに、「実数とは」の話になって、0.999…を使って実数の説明が始まる。...