代数 有理数の部分集合でデデキントカット
いろいろな集合のデデキントカットデデキントカットが一番使われるのは、有理数をデデキントカットして実数を作る時です。整数をデデキントカットしても、整数しか生み出せませんでした。整数は、稠密でないため（離散的なため）特殊すぎました。ここで、有理...
代数 数論 0.999…の地点はデデキントカットでどう表されるのか
デデキントカットで１の地点を切断してみます。実数は有理数のデデキントカットで定義できる。有理数をデデキントカットすると実数が作れる。これは予備知識で持っているとして話を進めます。有理数は実数に含まれると考えることができますから、有理数もデデ...
数論 デデキント切断で考察すべき所
実数の定義は意外に難しいものですが、デデキント切断という考えで定義できます。具体的には、有理数のデデキント切断から、実数を構成することができます。デデキント切断(デデキントカット(dedekind cut))とは定義全順序集合 S を二つの...
数論 整数をデデキント切断するとどうなるか
有理数をデデキント切断して実数を定義するのは有名ですが、同じように全順序集合である整数をデデキント切断するとどういった数ができるのでしょうか。デデキント切断の練習として、整数を切断します。整数をAとBにデデキント切断すると、 Aに最大値があ...
数論 稠密な有理数を完備化した実数をさらに完備化したらどうなるか
簡単にいうと稠密（ちゅうみつ）とは、たくさん集まっているということで、一番わかりやすい例が「有理数(全体の集合)です。連続は稠密よりもさらにたくさん集まっているというこおとで、一番わかりやすい例が実数(全体の集合)です。実数も稠密ですが、有...
数論 正数と整数がややこしい、無限小と負の無限大がややこしい
正の数、負の数使い慣れてしまってるので特に気にしていませんが、時々「正数」と「整数」の誤変換をしてしまうときに、なぜ、プラスを正の数、マイナスをが負の数と呼ぶのだろうと疑問い思います。語源はよくわかりませんが、正負の使い分けは、中国での発想...
無限 無限に広がる大宇宙
宇宙ほど無限を象徴してい象徴しているものはありません。宇宙３大人気疑問「宇宙」には、山のように謎や疑問があるところが「無限」と似ています。そのなかでも、人気というかだれでも一度は不思議に思ったはずの宇宙の疑問。ある調査によると、 宇宙の果て...
数論 本当に素数の出現率はベンフォードの法則に従うのか？
こんな論文「素数の分布はベンフォードの法則に従っている」がありました。これがどんな意味を持っているのか？その意味がどうにも腑におちなくて、自分でも検証してみました。素数はいろんな意味でランダムに出現していると言われていますが、先頭の数がどの...
代数 １０進数以外の数値表現でベンフォードの法則はどうなるか
n進数でベンフォードの法則を計算する１０進数の場合よく知られたベンフォードの法則による確率です。１０進数で表された数の先頭数の出現率を下記の表に示します。 数字の先頭出現率 1 30.10% 2 17.61% 3 12.49% 4 9.69...
代数 「数字の法則ベンフォードはなぜ？」を直感で理解する！
ベンフォードの法則とはベンフォードの法則(Benford's law)は、よく考えると、当然なのですが、意外に知られていないと思います。どんな法則なのか簡単に示しますと、自然界で使われている数の先頭は「１」が多く(約３割)使われているという...