数学的帰納法とは 数学的帰納法とは、数学の命題を証明する時に使う手法の一つです。 任意の自然数nに関する命題を証明するときに使います。 証明方法 自然数nに関する命題を数学的帰納法で証明するときには、下記の２つのことを証 […]
約数の総和を求める関数は乗法的である
約数関数 約数関数とは、約数の総和を返す関数のことです。 定義をきちんと書くと、下記のようになります。 自然数nに対し、そのnの約数全ての総和を返す関数を約数関数と呼び、σ(n)で表す。 例えば、 σ(1)=1 σ(2) […]
素数が無限にあることの新証明
素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。 私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。 その証明とは・・・ 「数が無限にあるから素数も無限にある」（略証：数が無限にあるから、いくらでも素数 […]
ある式の値が素数かどうか調べる問題
一般的に、与えられた数が素数かそうでないかを判定するのは難しい問題です。 ここでは、ある式の値が素数に関係する問題について考えます。 入試問題にでる素数判定 素数判定が難しいことは何度も書いていますが、それ […]
無限パラトックスの原因
無限がからんだパラドックスには、ある共通点がある。パラドックスの本質ともいえる共通点でさるが、パラドックスがパラドックスと呼ばれてきただけあって、それをズバリ説明することはなかなか難しい。 難しい概念や用語を使って説明し […]
a+b+c=abcの自然数だけでなく整数解を求める
a+b+c=abcの整数解 整数解を求める問題だが、割と有名なので、解き方を知らなくても解は知られている。 a=1,b=2,c=3である。解が連続した数で並んでいるので、数のバランスの良さを感じる。 有名な問題であるのだ […]
単位分数の和1/a+1/b+1/c=1となる自然数
自然数解を求める問題 整数を単位分数で表す問題。整数問題を学ぶ時に一度は解くことのある練習問題です。 これは、整数問題を解く時の基本的な解き方の代表例です。有名問題です。 解が特徴的なので、印象に残りやすいです。 &nb […]
京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問(整数問題)
京都大学理系数学2007年前期甲乙第3問 整数問題です。 この問題の場合はたまたまなんでしょうが、ここでも出てきますね、奇素数。 問題 pを3以上の素数とする。4個の整数a，b，c，dが次の3条件 \(a+b+c+d=0 […]
円の方程式から求めたピタゴラス数の問題点
ピタゴラス数(一般解)を円の方程式から求める で円の方程式と直線の方程式の交点からピタゴラス数を求めた。 多少の記述不足はあるが、有理数解も間違いなく全て求められている。 しかし、正しい答えが導かれているにもかかわらず、 […]
