数学問題 相加平均相乗平均の変化形証明
相加平均相乗平均(AM-GM不等式)相加平均≧相乗平均の関係の不等式は、AM-GM不等式と書かれることもよくあります。AMというのは、算術平均、GMというのは相乗平均（幾何平均）の略です。AMとGMの関係を表す不等式なので、AM-GM不等式...
数学問題 代数 数学的帰納法の変化形
数学的帰納法の簡単な変化形数学的機能法の変化形（１）まず、簡単にわかるのは、最初のn=1の場合をn=0にしたり、n=2にすることです。(1) n=2の場合に成立。(2) n=kの場合が成立するならn=k+1の時も成立する。(3) 上記の(1...
代数 数学的帰納法とは
数学的帰納法とは数学的帰納法とは、数学の命題を証明する時に使う手法の一つです。任意の自然数nに関する命題を証明するときに使います。証明方法自然数nに関する命題を数学的帰納法で証明するときには、下記の２つのことを証明します。(1) n=1の場...
数論 約数の総和を求める関数は乗法的である
約数関数約数関数とは、約数の総和を返す関数のことです。定義をきちんと書くと、下記のようになります。自然数nに対し、そのnの約数全ての総和を返す関数を約数関数と呼び、σ(n)で表す。例えば、σ(1)=1σ(2)=1+2=3σ(3)=1+3=4...
数論 メルセンヌ素数
メルセンヌ素数と完全数の定義自然数nに対して\(M_n=2^n-1\)の形で表される素数をメルセンヌ素数と呼ぶ。自然数nに対してnのnより小さい約数の和がnであるとき、nを完全数よ呼ぶ。完全数の例：6, 28, 496, 8128 など問題...
代数 素数が無限にあることの新証明
素数は無限にあることは周知の事実であり、その証明も数多くある。私が青二才の時のこの証明は証明とはいえないものだった。その証明とは・・・「数が無限にあるから素数も無限にある」（略証：数が無限にあるから、いくらでも素数の候補があって、時間はかか...
代数 ある式の値が素数かどうか調べる問題
一般的に、与えられた数が素数かそうでないかを判定するのは難しい問題です。ここでは、ある式の値が素数に関係する問題について考えます。入試問題にでる素数判定素数判定が難しいことは何度も書いていますが、それでも、入試問題に「素数であることを示せ」...
無限 無限パラトックスの原因
無限がからんだパラドックスには、ある共通点がある。パラドックスの本質ともいえる共通点でさるが、パラドックスがパラドックスと呼ばれてきただけあって、それをズバリ説明することはなかなか難しい。難しい概念や用語を使って説明したところで、その概念や...
代数 a+b+c=abcの自然数だけでなく整数解を求める
a+b+c=abcの整数解整数解を求める問題だが、割と有名なので、解き方を知らなくても解は知られている。a=1,b=2,c=3である。解が連続した数で並んでいるので、数のバランスの良さを感じる。有名な問題であるのだが、出題されるときはほとん...
数論 単位分数の和1/a+1/b+1/c=1となる自然数
自然数解を求める問題整数を単位分数で表す問題。整数問題を学ぶ時に一度は解くことのある練習問題です。これは、整数問題を解く時の基本的な解き方の代表例です。有名問題です。解が特徴的なので、印象に残りやすいです。問題a,b,cを自然数とするとき、...