数学の星

無限にはいろいろと種類がある（と考えた方が自然だ）。 視点の違いから、可能無限と実無限とで区分けするとなにかと話しやすい。 両者はともに見えない概念であって、違いを説明するのはなかなか難しいが、わかりやすく説明しているサ […]

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解析でよく極限値を求めることがあるが、極限を求めるときに実は２種類ある。それは、 $$　\lim_{x→0} f(x)　と  \lim_{x→∞}f(x) $$ いつもは、両者とも極限を表す式である。 \(y=1/x\) […]

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無限大の記号∞は便利なのでこれまでも使ってきた。 解析学でもよく使われる。 例えば$$\lim_{n→∞} \frac{1}{2^n}$$のように。 これがあたかもnが∞という数になった場合の結果であるかのように思えてな […]

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無限大と無限小、これらは、数のようであるが、数ではない概念である。これらを数として扱いたいのはやまやまであるが、今のところ数としては扱わない。 無限小とは、ゼロでない正の数で限りなくゼロに近い数としてよく表現される。無限 […]

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無限の大きさは濃度という尺度で測定できる。 無限集合の大きさが一つでないことがわかっている。つまり、一言で「数え切れない」と言っても、その意味は一つではないということだ。 それでは、無限の大きさはどれくらいの種類があるの […]

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無限について、その性質を表している有名な話が無限ホテルの話である。 部屋が無限にあるとどうなるか。そんなホテルは現実にはありえないが、数を考える上ではいたるところに無限ホテルが存在しているのである。 例えば、実数を小数表 […]

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無限階段地獄とは、降りることのできない階段のことです。 アキレスと亀の逆のような話です。 ２階から１階に降りる階段があるとします。 その階段は、１段目が半分の位置、２段めは下から1/4の位置、３段目は下から1/4の位置と […]

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パラドックスの例としてよくでてくる、アキレスと亀の寓話。私が、無限について最初に考えるきっかけとなった話だ。無限の話をするときには、かかせない。   それは有名なゼノンのパラドックス ゼノンのパラドックスとして […]

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新しい数を定義するために数が使われる。例えば、分数を定義するのに自然数が使われる。すなわち、数はメタ構造をもっている。数は数を定義するのに適している。 それでは、数を定義するときに使われる数を遡っていくとどこにたどり着く […]

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数は物質のように見ることができない概念であるが、確かに存在が確信される概念である。 １個のりんご、１本の鉛筆、１mの棒、１kgの佐藤、これらを通して１をみるこができるが、それは１その「もの」ではない。数は目で見ることがで […]

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