代数 可算濃度よりも小さい濃度に挑戦
可算濃度と連続濃度Sを可算濃度ℵ0の無限集合とし、その冪集合を2Sとすると、2Sは連続の濃度ℵ1の無限集合である。これについては、調べれば豊富な説明があり、説明しだすとくどくなるのでここでは詳しく述べない。ここで確認しておきたい要点は、「可...
無限
代数 無限 どこまでも続く対角線論法を見直す
実数の濃度が可算でないことを示す対角線論法の流れ実数を無限小数表示で表すこととし、その無限小数を縦に無限い並べます。並べたそれぞれの無限小数を対角線上になぞり、対角線上の桁の数をしらべ、その桁の数と違った数を持つ無限小数を作ります。カントー...
無限 対角線論法を応用して極限が0の数列を0に収束させない
0に収束する数列に対角線論法を使うわかりやすく２進数で書いた下記の数列{an}を考えます。111...の部分は、1が永遠に続くことを意味した記号です。a1=0.111...a2=0.0111...a3=0.00111...a4=0.0001...
無限 実無限の説明で無限小数の0.999…は不適当
0.999…よく、無限小数の例として0.999…が使われます。これは、0.999…＝１となる等式の説明ででてくる実数の例なわけです。0.999…＝１の式の意味を考えるときに、「実数とは」の話になって、0.999…を使って実数の説明が始まる。...
数論 可能無限と実無限の自然数モデル
可能無限と実無限を表した図このサイト管理者が考えている可能無限（仮無限、潜在的無限）と実無限の意味を図で説明することにしました。自然数を例にして、可能無限と実無限を図(下の方に掲載)を使って解説します。可能無限と実無限の図を使った説明１．ま...
無限 実無限でも可能無限でもない不可能無限とは
すべて有限で考えることは「不可能無限」「可能無限で考える」＝「すべて有限で考える」これはあっているようで、違っています。可能無限は何事も有限で収まる、そういうことではありません。いつまでも続けられる、終わりがない、これが可能無限の範囲です。...
無限 実無限は矛盾の温床
無限について考えると、なにかと不思議な現象に出くわします。それが、真理なのか、矛盾なのか、真理だとしたら、なぜ不思議に思えるのか、矛盾だとしたら、なにが原因なのか、可能無限は人間が認識しうる唯一の無限です。そう思えてなりません。実無限を認識...
不等式 本当に「1=0.999…」でよいのか？
実数の定義もままならないのに、「1=0.999…」を主張する人がたくさんいます。よくある「1=0.999…」の証明その１\(0.333...＝\frac{1}{3}\)である。両辺を３倍する。\(0.333...*3=\frac{1}{3}...
無限 無限パラトックスの原因
無限がからんだパラドックスには、ある共通点がある。パラドックスの本質ともいえる共通点でさるが、パラドックスがパラドックスと呼ばれてきただけあって、それをズバリ説明することはなかなか難しい。難しい概念や用語を使って説明したところで、その概念や...
無限 ゼロでないけどゼロ
ゼロでないけどゼロに限りなく近い数解析で、「ゼロでないけどゼロに限りなく近い数」こんな数があると便利そうですよね。作ってみました。確率です。の実数から、適当なところで数を選びます。その選んだ数が有理数である確率を求めよ。こんな問題があったら...